מרוכבים וסדרה הנדסית 1מספרים מרוכבים 572 · שיעור 46

שיעור 46: מרוכבים וסדרה הנדסית 1

מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572

מספרים מרוכבים · שאלון 572

📄 התרגיל

סדרה הנדסית שהאיברים שלה מספרים מרוכבים: מוצאים את המנה בעזרת שורשים מסדר n, ומחשבים סכום בעזרת המספר הצמוד. קודם השאלה, ואחריה הפתרון 👇

📌 תזכורת – מה צריך לשאלה

איבר כללי בסדרה הנדסית (נכון גם למספרים מרוכבים):

a_n = a₁ · q^{n − 1}

סכום n איברים ראשונים:

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

מכפלת מספר בצמוד שלו:

z · z = |z|²

שורשים מסדר n של r · cisθ :

ⁿ√r · cis(θ + 360kn) , k = 0 , 1 , … , n − 1

📝 השאלה

z = x + yi הוא מספר מרוכב ( x ו־y ממשיים). z הוא המספר הצמוד ל־z .

נתון: |6 − z − 8i|² − |10i| = |9 + 12i|

בסעיפים א–ב של השאלה מצאו: המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו M(6 , 8) והרדיוס שלו 5 , כלומר z_M = 6 + 8i , ונקודה A על המעגל עם z_A = 3 + 4i .

נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: z₁ , z₂ , z₃ , … שהמנה שלה היא q .

נתון: z₁ = z_A , z₅ = z_M

ג.מצאו את כל הערכים האפשריים של q

ד.חשבו את הסכום: z₁ · z₁ + z₂ · z₂ + … + z₁₀ · z₁₀

סעיף ג – המנה q

לפי נוסחת האיבר הכללי:

z₅ = z₁ · q⁴

6 + 8i = (3 + 4i) · q⁴

q⁴ = 6 + 8i3 + 4i

6 + 8i = 2(3 + 4i) , לכן:

q⁴ = 2

כותבים את 2 בהצגה קוטבית (מספר ממשי חיובי, הזווית 0 ):

2 = 2 · cis(0°)

לפי נוסחת השורשים מסדר 4:

q = ⁴√2 · cis(0 + 360k4) = ⁴√2 · cis(90k)

k = 0: q = ⁴√2 · cis(0°) = ⁴√2

· המשך

k = 0: q = ⁴√2 · cis(0°) = ⁴√2

k = 1: q = ⁴√2 · cis(90°) = ⁴√2 i

k = 2: q = ⁴√2 · cis(180°) = −⁴√2

k = 3: q = ⁴√2 · cis(270°) = −⁴√2 i

✅

תשובה: q = ±⁴√2
q = ±⁴√2 i

סעיף ד – הסכום

כל מחובר בסכום הוא מספר כפול הצמוד שלו:

z_n · z_n = |z_n|²

בכל ארבעת הערכים של q מסעיף ג:

|q| = ⁴√2

ערך מוחלט של מכפלה הוא מכפלת הערכים המוחלטים, לכן:

|z_n| = |z₁| · |q|^{n − 1}

|z₁| = |3 + 4i| = √9 + 16 = 5

|z_n| = 5 · (⁴√2)^{n − 1}

|z_n|² = 25 · (⁴√2)^{2(n − 1)} = 25 · (√2)^{n − 1}

כלומר המחוברים הם סדרה הנדסית (של מספרים ממשיים) שהאיבר הראשון שלה 25 והמנה שלה √2 .

S₁₀ = 25((√2)¹⁰ − 1)√2 − 1

· המשך

S₁₀ = 25((√2)¹⁰ − 1)√2 − 1

(√2)¹⁰ = 2⁵ = 32

S₁₀ = 25 · 31√2 − 1 = 775√2 − 1

אפשר גם לגרום למכנה להיות רציונלי (כופלים מונה ומכנה ב־√2 + 1 ):

S₁₀ = 775(√2 + 1) \approx 1871.02

✅

תשובה: 775√2 − 1 = 775(√2 + 1) \approx 1871.02

✅ סיימנו!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא